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Michael Aschbacher y la demostracin ms larga de la historia de las matem
Premio Rolf Schock de Matemticas, que entrega la Real Academia Sueca de Ci...


Michael Aschbacher y la demostracin ms larga de la historia de las matemticas

Posted: 23 Sep 2011 04:00 AM PDT

El matemtico estadounidense Michael Aschbacher ha sido galardonado con el Premio Rolf Schock de Matemticas, que entrega la Real Academia Sueca de Ciencias, en este ao 2011.

Rolf Schock

Rolf Schock

El Premio Rolf Schock se entrega cada tres aos en cuatro modalidades: Lgica y Filosofa, Matemticas, Artes visuales y Artes Musicales. Fue fundado a partir del testamento del propio Rolf Schock, quien especific en l que la mitad de sus bienes deberan destinarse para financiar estos cuatro premios. Schock muri en 1986 y los premios comenzaron a entregarse en 1993.

Por qu han concedido a Aschbacher este premio? Pues, segn el jurado:

for his fundamental contributions to one of the largest mathematical projects ever, the classification of finite simple groups, notably his contribution to the quasi-thin case.

Es decir, por su importante contribucin al proyecto de clasificacin de los grupos simples finitos, uno de los mayores proyectos matemticos de la historia. Estouno de los mayores?

Conocis la historia del ltimo teorema de Fermat, verdad? S, Fermat deja escrito en un libro que tiene una demostracin maravillosa para cierto resultado, pero que el margen es demasiado pequeo para contenerlay pasan ms de 300 aos hasta que Andrew Wiles (con algo de ayuda en cierto momento) completa la demostracin de ese resultado. Esta demostracin de Wiles ocupa 108 pginas en Annals of Mathematics. S, 108 pginas. Vamos, comopara tener que aprendrsela.

Bueno, pues la demostracin completa del teorema de clasificacin de grupos finitos simples (conocido tambin como enormous theorem) ocupa la nada desdeable cantidad de 15000 pginas!! (aproximadamente), y el nmero de personas que han realizado contribuciones a la misma sobrepasa las 100, desde 1955 hasta 2004, ao en el que Aschbacher le dio la puntilla a la clasificacin.

Vayamos un peln ms despacio. Qu es un grupo? En matemticas, se llama grupo a la pareja formada por:

  • Un conjunto de elementos, y
  • una operacin, una forma de operar con dichos elementos, que cumple ciertas propiedades.

Como no nos hace falta saber nada sobre esas propiedades no voy a profundizar en ello.

Si el conjunto tiene un nmero finito de elementos, nuestro grupo es un grupo finito. Y un grupo simple es un grupo que cumple que los dos nicos subgrupos normales del mismo son el trivial y el total (tampoco nos hace mucha falta saber qu es eso de subgrupo normal).

Y qu dice exactamente el teorema de clasificacin? Pues lo siguiente:

Teorema de clasificacin de grupos finitos simples

Todo grupo finito simple es isomorfo a (es decir, tiene la misma estructura algebraica que) uno de los siguientes grupos:

Como curiosidad, comentar que el mayor de estos 26 grupos espordicos se denomina The Monster y tiene 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos.

Michael Aschbacher

Michael Aschbacher

A principios de la dcada de 1980 se pensaba que la clasificacin ya se haba completado, pero en realidad no era as. Un cierto tipo de grupos, denominados quasithin groups, se resista. Y ste fue el hueco que Michael Aschbacher, junto a Stephen Smith, se encarg de rellenar. En 2004 Aschbacher y Smith publican dos volmenes, The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups y The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups, que consiguen resolver este ltimo problema a lo largo de sus ms de 1200 pginas (aunque matemticos como Serre mantienen cierto escepticismo sobre el tema, ya que piensan que esta clasificacin podra tener algn vaco ms que habra que llenar). En este enlace tenis una revisin del asunto hecha por Ronald Solomon para el boletn de la American Mathematical Society.

Qu aplicaciones puede tener este resultado? Pues en la actualidad posiblemente ninguna directa, aunque no se puede saber qu importancia podr tener esta clasificacin en un futuro. En palabras de Mark Ronan:

Id be willing to bet a million dollars that it has an application, but theres no point in making the bet because Ill be dead before I can collect.

Esto es, algo as como lo siguiente:

Estara dispuesto a apostar un milln de dlares a que tiene alguna aplicacin, pero no tendra sentido hacerlo ya que estar muerto antes de que pueda ganarla.

Actualmente se est trabajando en simplificar la demostracin completa. Es evidente que 15000 pginas de demostracin es una barbaridad, pero tambin lo es la enorme dificultad de algunas de sus partes. El proyecto ms significativo en este sentido prev que publicar una simplificacin de la demostracin en unas 3000-4000 pginas repartidas en 12 volmenes. Algo es algo.

Y para terminar os dejo algunos enlaces ms sobre el tema:

La imagen de Rolf Schock la he tomado de aqu y la de Michael Aschbacher de aqu.


Este artculo es una nueva colaboracin de Gaussianos en Amazings.es, donde apareci ayer jueves. Podis leerla aqu

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